ค้นหาบล็อกนี้

วันอาทิตย์ที่ 6 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2554

ตรีโกณมิติ


ตรีโกณมิติ

             ตรีโกณมิติ (จากภาษากรีก trigonon มุม 3 มุม และ metro การวัด) เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุม, รูปสามเหลี่ยม และฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น ไซน์ และ โคไซน์ มีความเกี่ยวข้องกับเรขาคณิต แม้ว่าจะสรุปไม่ได้อย่างแน่ชัดว่า ตรีโกณมิติเป็นหัวข้อย่อยของเรขาคณิต

ประวัติของตรีโกณมิติ

นักคณิตศาสตร์มุสลิมในยุคกลาง (หรือยุคมืด ตามคำเรียกของชาวยุโรป) มีส่วนเป็นอย่างมากในการพัฒนาและอุทิศผลงานในคณิตศาสตร์สาขาตรีโกณมิติ โดยพวกเขาได้รับแนวคิดพื้นฐานมาจาก
  • ตำราคณิตศาสตร์อินเดียที่ชื่อ Sūrya Siddhānta (สูรยสิทธานตะ)
  • ตำราอัลมาเกส (เป็นภาษาอาหรับแปลว่ายิ่งใหญ่ที่สุด แสดงให้เห็นว่านักคณิตศาสตร์อาหรับยกย่องหนังสือเล่มนี้มาก) ของทอเลมีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงชาวกรีก ; และ
  • ตำราสเฟียริก ของเมเนลาอุสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเช่นกัน
อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์กรีกและอินเดียจะมีบทบาทในการพัฒนาตรีโกณมิติ แต่ทว่านักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายท่าน ได้ให้เกียรตินักคณิตศาสตร์อาหรับว่า เป็นผู้พัฒนาความรู้ในสาขานี้อย่างแท้จริง
สำหรับ ประเทศไทยนั้น ก็มีศาสตร์ตรีโกณมิติเข้ามาตั้งแต่สมัยสุโขทัย ผ่านทางคัมภีร์ สุริยยาตร์ สำหรับคำนวณหาตำแหน่งพระอาทิตย์และพระจันทร์ และปรากฏการณ์ข้างขึ้นข้างแรม (เพียร) โดยปรากฏตาราง SINE ทุกๆ มุม 15 องศา เรียกว่า ตารางฉายา ส่วน COSINE จะใช้หลักการเทียบจากตารางฉายา เรียกว่า โกฏิฉายา


ตรีโกณมิติวันนี้

ปัจจุบัน มีการนำตรีโกณมิติไปใช้ในงานสาขาต่าง ๆ เช่น เป็นเทคนิคในการสร้างรูปสามเหลี่ยม ซึ่งใช้ในวิชาดาราศาสตร์เพื่อวัดระยะทางของดาวที่อยู่ใกล้ ในภูมิศาสตร์ใช้วัดระยะทางระหว่างหลักเขตที่ดิน และใช้ในดาวเทียมนำทาง งานที่มีการใช้ประโยชน์จากตรีโกณมิติ ได้แก่ ดาราศาสตร์ (และการนำทางในมหาสมุทร บนเครื่องบิน และในอวกาศ) ,ทฤษฎีดนตรี, สวนศาสตร์, ทัศนศาสตร์, การวิเคราะห์ตลาดการเงิน, อิเล็กทรอนิกส์, ทฤษฎีความน่าจะเป็น, สถิติศาสตร์, ชีววิทยา, การสร้างภาพทางการแพทย์ (การกราดภาพตัดขวางใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAT scans) และ คลื่นเสียงความถี่สูง) , เภสัชศาสตร์, เคมี, ทฤษฎีจำนวน (รวมถึง วิทยาการเข้ารหัสลับ) , วิทยาแผ่นดินไหว, อุตุนิยมวิทยา, สมุทรศาสตร์, วิทยาศาสตร์กายภาพสาขาต่างๆ, การสำรวจพื้นดิน และภูมิมาตรศาสตร์, สถาปัตยกรรม,สัทศาสตร์, เศรษฐศาสตร์, วิศวกรรมไฟฟ้า, วิศวกรรมเครื่องกล, วิศวกรรมโยธา, เรขภาพคอมพิวเตอร์, การทำแผนที่, ผลิกศาสตร์

เกี่ยวกับตรีโกณมิติ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกัน ถ้ารูปหนึ่งสามารถขยายได้เป็นอีกรูปหนึ่ง และจะเป็นกรณีนี้ก็ต่อเมื่อมุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านที่ตรงข้ามกับมุมนั้นขนานกัน เป็นข้อเท็จจริงว่ารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ด้านแต่ละด้านจะเป็นสัดส่วนกัน นั่นคือ ถ้าด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง ยาวเป็นสองเท่าของด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน จะกล่าวได้ว่า ด้านที่สั้นที่สุดจะยาวเป็นสองเท่าของด้านที่สั้นที่สุดของอีกรูปสามเหลี่ยม และด้านที่ยาวปานกลางก็จะเป็นสองเท่าของอีกรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมแรก จะเท่ากับ อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปด้วย
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จากข้อเท็จจริงเหล่านี้ เราจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติ เริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมฉากหนึ่งมุม (90 องศา หรือ π/2 เรเดียน) ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมใดๆจะอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่ที่สุด แต่เพราะว่าผลรวมของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา หรือ π เรเดียน ดังนั้นมุมที่ใหญ่ที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนี้คือมุมฉาก ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นด้านที่ตรงข้ามกับมุมฉาก เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก
นำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาสองรูปที่มีมุม A ร่วมกัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะคล้ายกัน และอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุม A ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากันทั้งสองรูป มันจะเป็นจำนวนระหว่าง 0 ถึง 1 ขึ้นอยู่กับขนาดของมุม A เท่านั้น เราเรียกว่า ไซน์ของ A และเขียนด้วย sin (A) ในทำนองเดียวกัน เรานิยาม โคไซน์ของ A คืออัตราส่วนระหว่าง ด้านประชิดมุม Aต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
\sin A = {\mbox{opp} (a) \over \mbox{hyp} (c) } \qquad \cos A = {\mbox{adj} (b) \over \mbox{hyp} (c) }
ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญ ฟังก์ชันอื่นๆสามารถนิยามโดยใช้อัตราส่วนของด้านต่างๆของรูปสามเหลี่ยม แต่มันก็สามารถเขียนได้ในรูปของ ไซน์ และ โคไซน์ ฟังก์ชันเหล่านี้คือ แทนเจนต์, ซีแคนต์, โคแทนเจนต์, และ โคซีแคนต์
\tan A = {\sin A \over \cos A} = {\mbox{opp} (a) \over \mbox{adj} (b) } \qquad \sec A = {1 \over \cos A} = {\mbox{hyp} (c) \over \mbox{adj} (b) }
\cot A = {\cos A \over \sin A} = {\mbox{adj} (b) \over \mbox{opp} (a) } \qquad \csc A = {1 \over \sin A} = {\mbox{hyp} (c) \over \mbox{opp} (a) }
วิธีจำ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ อย่างง่ายๆคือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด (ไซน์-ด้านตรงข้าม-ด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์-ด้านประชิด-ด้านตรงข้ามมุมฉาก แทนเจนต์-ด้านตรงข้าม-ด้านประชิด)
ที่ผ่านมา ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกนิยามขึ้นสำหรับมุมระหว่าง 0 ถึง 90 องศา (0 ถึง π/2 เรเดียน) เท่านั้น หากใช้วงกลมหนึ่งหน่วย จะขยายได้เป็นจำนวนบวกและจำนวนลบทั้งหมด (ดูใน ฟังก์ชันตรีโกณมิติ)
ครั้งหนึ่ง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ถูกจัดลงในตาราง (หรือคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข) ทำให้ตอบคำถามทั้งหมดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมใดๆได้อย่างแท้จริง โดยใช้กฎไซน์ และ กฎโคไซน์
กฎเหล่านี้สามาถใช้ในการคำนวณมุมที่เหลือและด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ความยาวด้านสองด้านและขนาดของมุมหนึ่งมุม หรือรู้ขนาดของมุมสองมุมและความยาวของด้านหนึ่งด้าน หรือ รู้ความยาวของด้านทั้งสามด้าน
นักคณิตศาสตร์บางคนเชื่อว่าตรีโกณมิติแต่เดิมนั้น ถูกประดิษฐ์ชึ้นเพื่อใช้คำนวณนาฬิกาแดด ซึ่งมักเป็นโจทย์ในหนังสือเก่าๆ มันมีความสำคัญมากในเรื่องการสำรวจ


การใช้นิ้วมือช่วยในการจำค่าตรีโกณมิติของมุมพื้นฐาน


การจำค่าตรีโกณมิติพื้นฐานโดยใช้นิ้วมือ ต้องใช้มือซ้าย
วิธีการนี้ใช้จำค่าตรีโกณมิติของมุมพื้นฐานกล่าวคือ 0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ มีขั้นตอนดังต่อไปนี้
  1. แบมือซ้ายออกมา มองเลขมุมจับคู่กับนิ้วเรียงจากซ้ายไปขวา เป็นมุม 0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ องศา
  2. เมื่อต้องการหาค่าตรีโกณมิติของมุมใดให้งอนิ้วนั้น สมมติว่าหา cos 30^\circ ก็จะตรงกับนิ้วชี้ ก็งอนิ้วชี้เก็บไว้
  3. ถือกฎว่า "sin-ซ้าย(ออกเสียงคล้ายกัน) cos-ขวา(ออกเสียง /k/ เหมือนกัน)" เมื่อหาค่าของฟังก์ชันใดให้สนใจจำนวนนิ้วมือฝั่งที่สอดคล้องกับฟังก์ชันนั้น
  4. เพื่อจะหาค่า นำจำนวนนิ้วมือด้านที่สนใจติดรากที่สองแล้วหารด้วยสอง (หรืออาจจำว่ามีเลขสองตัวใหญ่ๆอยู่บนฝ่ามือ เมื่ออ่านก็จะเป็น รากที่สองของจำนวนนิ้วมือด้านที่สนใจ หารฝ่ามือ)
    • สำหรับ cos 30 ก็จะได้ว่ามีนิ้วมือเหลืออยู่ทางด้านขวาอีกสามนิ้ว (กลาง นาง ก้อย) ก็จะได้ cos30=\frac{\sqrt{3}}{2}สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นก็ใช้สมบัติของฟังก์ชันนั้นกับ sin และ cos เช่น tan=sin/cos

เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

วันจันทร์ที่ 24 มกราคม พ.ศ. 2554

พื้นฐานความรู้ในการแก้สมการ

ประเด็นที่ 4 : การเพิ่มหรือลดของจำนวนที่อยู่ด้านซ้าย และด้านขวาของสัญลักษณ์เท่ากับ
พื้นความรู้ในการแก้สมการ
พิจารณาใน 4 ประเด็น คือ

ประเด็นที่ 1 : ตัวแปร
      การแก้สมการเป็นการหาค่าของตัวไม่ทราบค่าหรือตัวแปร ซึ่งมักจะใช้ตัวอักษร x แทนตัวไม่ทราบค่านั้น คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เป็นสากล การสอนพีชคณิตจึงเป็นการสอนเนื้อหาที่เป็นสากล ดังนั้น จึงควรใช้ตัวไม่ทราบค่าหรือตัวแปรที่เป็นสากลนิยมมาใช้แทนตัวไม่ทราบค่าหรือ
ตัวแปรนั้น นั่นคือตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น x, y และ z เป็นพยัญชนะ 3 ตัวท้ายของพยัญชนะในภาษาอังกฤษ สำหรับพยัญชนะ 3 ตัวต้นในภาษาอังกฤษ a, b และ c จะนิยมใช้แทนค่าคงตัว
การเขียนแทนตัวแปรด้วย x อาจมีหลายความหมาย ดังนี้
1) + 1 x (บวกหนึ่ง x )
2) x/1( x หารด้วย 1 )
3) x ^1 ( x ยกกำลัง 1)
ดังนั้นจะเห็นได้ว่าจะไม่นิยมเขียน + 1 x , x/1หรือ x ^1 แต่จะเขียนแทนด้วย x เท่านั้น
ประเด็นที่ 2 : การดำเนินการ
1) การคูณจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม
(-1) x (-1) = (+1)
(-1) x ( + 1) = ( - 1)
(+1) x (-1) = ( - 1)
(+1) x (+1) = (+1)
2) การบวก และการลบตัวแปร
4x + x = 5x
4x – x = 3x
-4x + x = -3x
-4x – x = -5x
3) การคูณจำนวนเต็มด้วยตัวแปร
2 x X = 2X
(-2) x X= -2X
2 x(-X) = -2X
(-2) x (-X) = 2X
4) การคูณตัวแปรด้วยจำนวนเต็ม
X x 2 = 2X
X x (-2) = -2X
(-X) x 2 = -2X
(-X) x (-2) = 2X
นักเรียนต้องเข้าใจการดำเนินการในการบวก การลบ การคูณ การหาร และมีความแม่นยำจนอาจกล่าวได้ว่าต้องจำได้ขึ้นใจและคล่องเหมือนท่องสูตรคูณก็ว่าได้ จึงจะสามารถแก้สมการได้ถูกต้อง
ประเด็นที่ 3 : ความหมายของสัญลักษณ์เท่ากับ ( = )
     ความหมายของสัญลักษณ์เท่ากับนั้นเป็นเรื่องง่ายๆ แต่ถ้าไม่ได้เน้นย้ำให้เกิดความเข้าใจแล้ว มักจะเกิดปัญหากับนักเรียนในการแก้สมการเป็นอย่างมาก ดังตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1 นักเรียนทราบหรือไม่ว่า ถ้า x = 5
จะมีความหมายเดียวกับ 5 = x
ตัวอย่างที่ 1 นี้คงจะไม่มีปัญหามากนัก เพราะคงจะเข้าใจได้ง่าย
ตัวอย่างที่ 2 นักเรียนทราบหรือไม่ว่า ถ้า 5 = x    จะมีความหมายเดียวกับ x = 5
ตัวอย่างที่ 1 และตัวอย่างที่ 2 นี้ ถ้าครูไม่ได้เน้นย้ำแล้ว นักเรียนอาจไม่เข้าใจในตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 3 นักเรียนทราบหรือไม่ว่า ถ้า x = -5 จะมีความหมายเดียวกับ -5 = x
ตัวอย่างที่ 4 นักเรียนทราบหรือไม่ว่า ถ้า 4 = x จะมีความหมายเดียวกับ x = - 4
ตัวอย่างที่ 5 นักเรียนทราบหรือไม่ว่า ถ้า 5 = x +1 จะมีความหมายเดียวกับ x+1 = 5
ตัวอย่างที่ 6 นักเรียนทราบหรือไม่ว่า ถ้า 4 = -x - 1 จะมีความหมายเดียวกับ - x - 1 = 4
       ตัวอย่างทั้ง 6 ข้อนี้อาจแสดงให้นักเรียนเข้าใจได้ โดยการยกตัวอย่างชีวิตประจำวันประกอบ เช่น แม่ค้าขายผลไม้ มีผลไม้อยู่ทั้ง 2 กระจาด กระจาดหนึ่งเป็นทุเรียน 10 ผล อีกกระจาดหนึ่งเป็นมังคุด 50 ผล ซึ่งผลไม้ทั้ง 2 ชนิดมีน้ำหนักเท่ากันพอดี ดังนั้น อาจกล่าวได้ว่าน้ำหนักของทุเรียน 10 ผล เท่ากับน้ำหนักของมังคุด 50 ผล หรือน้ำหนักของมังคุด 50 ผลเท่ากับน้ำหนักของทุเรียน 10 ผล

        เมื่อนักเรียนเข้าใจตัวแปร การดำเนินการและความหมายของสัญลักษณ์เท่ากับ โดยรู้ซึ้งในความเท่ากันของจำนวนที่อยู่ทางด้านซ้ายและจำนวนที่อยู่ทางด้านขวาแล้ว ประเด็นที่ 4 นักเรียนต้องเข้าใจว่า จำนวนที่อยู่ด้านซ้ายและด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับนั้น มีความเท่ากัน ดังนั้นถ้าต้องการจะให้จำนวนใดจำนวนหนึ่งหายไปจะไปลบออกเฉยๆ ไม่ได้ ถ้าต้องการลดลงต้องลดทั้งสองข้างด้วยจำนวนที่เท่าๆ กัน หรือถ้าต้องการเพิ่มก็ต้องเพิ่มเข้าทั้งสองข้างด้วยจำนวนที่เท่าๆ กัน


เครดิตหน่อยครับ  ::: นายจตุพันธ์ รุจิรานุกูล junior_zucre@hotmail.com                                  คณะครุศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

                                 เม้นกันด้วยเน้อออออออ!!! ^ ^
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:
สมัครสมาชิก: บทความ (Atom)